În episoadele precedente am văzut cum gândirea matematică pură, de la Euler, Gauss și Riemann până la Poincaré, a schimbat pentru totdeauna felul în care privim spațiul și formele sale, deschizând drumuri noi pentru fizică. Am explorat geometriile cu curbură constantă ca modele abstracte, desprinse dintr-un „spațiu al ideilor” care există dincolo de realitatea noastră imediată. 

În acest episod, vom face un pas mai departe: vom intra într-un domeniu al matematicii unde fizica este imaginea. Apare astfel o viziune radical nouă asupra realității — în care spațiul și timpul sunt unificate într-o singură structură geometrică. Apoi analizăm cum transformările Lorentz, geometria Minkowski și ideea adăugării sau eliminării unei coordonate schimbă complet harta posibilului, completând ceea ce am discutat deja despre gravitație și despre universurile cu alte structuri metrice.

Să începem. Am trecut repede peste viața propriu-zisă a lui Henri Poincaré, fără să subliniez că a trăit doar 58 de ani. În copilărie a fost extrem de bolnav, iar educația și-a primit-o în mare parte de la mama sa — asemănător cu Gauss. Profesorul său de matematică l-a descris drept un „monstru al matematicii” în sensul de geniu, iar Poincaré a confirmat această apreciere încă din liceu, câștigând un concurs național de matematică. Ca student și doctorand al reputatului Charles Hermite, a impresionat printr-o viteză de învățare remarcabilă: a terminat facultatea de inginerie în doi ani, apoi Școala de Mine în paralel cu doctoratul în matematică, totul în doar patru ani. Mulți îl consideră ultimul mare universalist în știință și filozofie, influența sa regăsindu-se în aproape toate domeniile matematicii.

În contextul ideilor pe care doresc să le dezvolt, mă voi opri asupra a ceea ce fizicienii numesc transformările Lorentz, baza teoriei restrânse a relativității. Explicațiile date experimentului Michelson–Morley presupuneau o contracție a lungimilor — ipoteză formulată în 1889 de George Francis Fitzgerald. Hendrik Lorentz a preluat ideea și, studiind electromagnetismul corpurilor aflate în mișcare, i-a oferit o justificare teoretică lucrând asupra ideii între anii 1892–1895. Forma modernă a transformărilor, cu structură de grup și cu invarianța ecuației undelor electromagnetice, îi aparține însă lui Poincaré, care a publicat-o la 9 iunie 1905 în Comptes Rendus.

Câteva luni mai târziu, la 26 septembrie 1905, Albert Einstein publica în Annalen der Physik un articol în care deducea aceleași transformări printr-o metodă complet diferită, pornind de la două postulate fundamentale: principiul relativității și constanța vitezei luminii în toate sistemele inerțiale. Din transformările Lorentz, Einstein a derivat consecințele fizice majore: dilatarea timpului, contracția lungimilor și interpretările lor teoretice. 

Aceste rezultate nu au rămas doar în domeniul experimentului sau al teoriei fizice, ci au deschis calea unei noi concepții geometrice asupra realității.

Recapitulând, o parte a teoriei restrânse a relativității se datorează lui Poincaré, dar teoria lui Einstein este mai mult decât atât. Este de fapt o geometrie a spațiului cu patru dimensiuni, în care timpul apare ca o coordonată specială, iar teorema lui Pitagora se scrie cu un minus între componenta temporală și cele spațiale. Această idee uimitoare formulată în 1907 și prezentată public în 1908, aparține matematicianului german Hermann Minkowski.

Culmea este că toate aceste aspecte geometrice și fizice pot fi prezentate fără prea mare dificultate și elevilor — am făcut-o deja de mai multe ori.

Ce aduce nou această geometrie? În primul rând, în spațiutimpul cu patru dimensiuni nu mai există o distanță propriu-zisă între puncte în sensul Euclidian. În schimb, fiecărui punct îi este asociat un hipercon de lumină, care împarte spațiul în regiuni: zone accesibile, zone inaccesibile și direcții imposibil de explorat. Curgerea timpului are sens doar într-o singură direcție — iar noi nu putem reveni în trecut —și asta pentru că transformările Lorentz sunt rotații în geometria Minkowski. Vectorii temporali orientați spre viitor nu pot fi răsuciți spre trecut. Deci forma rotațiilor hiperbolice este „vinovată” pentru această asimetrie. 

Și simultaneitatea dispare, iar geometria Minkowski oferă cea mai clară imagine a acestui fapt: pe desen, în două dimensiuni, lipsa simultaneității se vede prin existența a două puncte corespunzătoare unui eveniment dat care nu se suprapun în desenul care cuprinde împreună reperele „în repaus” și „în mișcare cu viteză constantă”. 

Apoi, în această geometrie Minkowski, cercurile Minkowski devin hiperbole euclidiene, sferele  Minkowski devin hiperboloizi euclidieni cu o pânză sau cu două pânze, iar hipersferele — hiper-hiperboloizi euclidieni. 

Intuiția clasică se pierde: segmente care pe desen par din ce în ce mai lungi pot avea aceeași „lungime Minkowski”. Totuși, dreptele, planele și hiperplanele își păstrează „forma” lor din geometria Euclidiană.

Această geometrie este fascinantă, iar interpretarea sa fizică este — după cum știm — chiar teoria restrânsă a relativității. 

Am folosit spațiutimpul Minkowski pentru a întreba ce rămâne din spațiu atunci când timpul dispare. Teorema modificată a lui Pitagora în 4 dimensiuni cu un semn minus, pierde termenul cu minus. Rămâne o teorema Pitagora clasică în trei dimensiuni. 

Care face să rămână geometria, am vorbit despre asta, dar este bine să reamintim de ce. Putem reconstitui geometriile cu curbură constantă: în plan, geometria Euclidiană; pe sferă, geometria sferică sau eliptică; pe pseudosferă, geometria neeuclidiană în sensul lui Poincaré. Aceste geometrii par desprinse dintr-un „spațiu al ideilor” care există independent de prezența unei coordonate temporale. Iar geometriile curburii constante permit dezvoltări teoretice spre geometria diferențială, deschizând drumul teoretic către teoria relativității. 

Deci să reținem că spațiul ideilor matematice  există chiar dacă nu ar exista nimeni care să scoată din el porțiuni cu rol în modelarea unei realități. Care realitate în absența timpului nu există…

Dar dacă, în loc să eliminăm coordonata temporală, eliminăm o coordonată spațială? Mai putem vorbi despre aceleași geometrii ale curburii constante?

Vom vedea că da. Chiar dacă ele nu sunt exact geometriile curburii constante de mai înainte pentru că în loc să fie „născute” de spațiul Euclidian 3-dimensional, sunt „născute” de spațiul Minkowski 3-dimensional. 

Hiperboloidul cu două pânze — una din „sferele Minkowski” în acest spațiu— oferă o reprezentare naturală pentru geometria semiplanului și a discului Poincaré, cu toate implicațiile filozofice care decurg de aici. Pentru că în acest caz putem să legăm această sferă Minkowski de pseudosferă prin transformări succesive de coordonate. 

Dar curbura constantă pozitivă și curbura constantă nulă pun în evidență geometrii neechivalente cu cele evidențiate de cazul Euclidean. Nu trebuie să fim foarte îngrijorați de asta. În prezența timpului Universul a evoluat creându-ne pe noi. Iar mintea noastră poate mări numărul de coordonate, le poate scădea, poate renunța la oricare din ele. Deci mintea noastră poate să imagineze și structurile celelalte… Culmea este că atunci când înțelegem asta, înțelegem că în spațiul ideilor matematice au existat întotdeauna și ideile referitoare la coordonata cu minus corespunzătoare timpului. Iar Minkowski nu a făcut decât să întindă mâna spre raftul unde era pusă. Și ne-a prezentat-o nouă.

Cum era Hermann Minkowski ca profesor? 

Favoritul lui Hilbert era pasional în prezentare. Era renumit pentru imaginația geometrică și pentru modul vizual în care explica conceptele. Când vorbea despre spațiutimp, desena conuri de lumină, secțiuni spațiale sau temporale, totul foarte intuitiv. Avea un fel de a „pune” geometria în mintea studentului prin imagine, nu doar prin ecuații. Există note ale unor studenți care au asistat la celebra lui conferință „Raum und Zeit” din 1908: mulți au fost uimiți nu doar de ideea unificării spațiului și timpului, ci și de faptul că Minkowski a prezentat totul „ca pe o poveste”, cu introducere, dezvoltare și final, deși era vorba de matematică și fizică teoretică pură. 

Cu aceste ultime comentarii, închei povestea geometriilor cu curbură constantă și a legăturilor lor cu spațiutimpul Minkowskian — o poveste care, dincolo de ecuații, ne apropie de înțelegerea realității universului în care trăim.