Să ne imaginăm un hotel cu 150 de camere, toate ocupate. Un client ajunge la recepție și cere o cameră. Recepționerul îi spune că nu există camere libere și nu se poate face nimic pentru a fi cazat acolo.
Nu la fel ar sta lucrurile dacă hotelul are o infinitate de camere, toate ocupate. Clientul ajunge la recepție și cere o cameră. Recepționerul îi spune că toate sunt ocupate, dar îi va da o cameră. Pentru aceasta el cere fiecărui client să se mute în camera vecină. Adică cel din camera 1 să treacă în camera 2, cel din camera 2 în camera 3, cel din 3 în 4, și așa mai departe. Practic, în felul acesta se eliberează camera 1 în care este trimis noul oaspete.
Dar dacă un „autobuz infinit” aduce o infinitate de oaspeți pentru hotelul infinit?
Un recepționer inteligent are și în acest caz o soluție. Pe cel din camera 1 îl trece în camera 2, pe cel din camera 2 în camera 4, pe cel din camera 3 în camera 6, deci pe cel din camera n în camera 2n. În urma unei asemenea mișcări camerele 1, 3, 5, 7, … devin libere. Altfel spus toate camerele cu număr par sunt ocupate de vechii clienți ai hotelului iar camerele cu număr impar, o infinitate, rămân libere și pot fi ocupate una câte una de oaspeții sosiți cu autobuzul infinit. Problema este rezolvată!
Acum să legăm această problemă de episodul trecut. Aminteam la sfârșitul episodului trecut de matematicianul român Dan Barbilian, mai cunoscut sub pseudonimul de poet, Ion Barbu. Nu lui îi aparține această problemă. Aș putea să vă povestesc multe lucruri legate de matematica și poezia sa, dar și despre multele controverse și greșeli care i-au marcat viața. Iată una dintre ele. Trimis în 1922 de Gheorghe Țițeica să studieze în Germania la celebra universitate Göttingen, Barbilian refuză să-și facă un doctorat cu David Hilbert pentru că îl considera „în plin scăpătat”. Nu frecventează nici cursurile geniului matematic feminin Emmy Noether, în acest caz motivând că este „prea urâtă ca să suporte să o vadă în clasă.”
Cine este David Hilbert, cel pe care Barbilian l-a evitat la Göttingen?
Răspunsul pe scurt ar fi „cel mai mare matematician al tuturor timpurilor”.
Cel căruia îi aparține și problema hotelului infinit. Dar această problemă este doar o glumă în raport cu contribuțiile lui Hilbert.
Nu există direcție esențială de cercetare în matematică în care să nu fie o teoremă descoperită de Hilbert. Contribuțiile sale matematice înșiruite ar ocupa mult mai mult decât spațiul dedicat unui episod aici. Și trebuie să adăugăm că a avut contribuții științifice remarcabile și în fizica teoretică.
Hilbert este cel care a rescris axiomatic geometria lui Euclid evidențiind modul în care teoria axiomatică se continuă pentru a crea geometriile neeuclidiene. A axiomatizat și alte teorii fiind convins că rigoarea axiomatică este necesară matematicii și științelor în general.
Discuțiile lui Hilbert cu Einstein conduc la forma corectă a ecuațiilor câmpului gravitațional care fundamentează teoria generală a relativității. De fapt, Hilbert a publicat forma corectă și deducerea ecuațiilor de câmp cu o lună înainte ca Einstein să publice varianta sa de deducere. Diferența dintre cele două variante de deducere se poate rezuma astfel: Einstein are o metodă mai simplă care se bazează pe o presupunere legată de modul matematic în care trebuie privită materia universului, Hilbert are însă o viziune geometrică care fundamentează ecuațiile din însăși curbura spațiu timpului. Metoda lui Hilbert este mai generală, permite găsirea ecuațiilor de câmp și în cazul teoriilor cu gravitație modificată sau în cazul oricăror alte ecuații din fizică în care un Lagrangian este implicat.
Să povestim contextul găsirii acestor ecuații de câmp. Încă de la începutul secolului XX David Hilbert era interesat de fizică. Își dă seama că relativitatea restrânsă este de fapt un nou tip de geometrie și îl încurajează pe colegul și prietenul său Hermann Minkowski să cerceteze asta. Minkowski reușește o reprezentare geometrică inimaginabilă pentru acea perioadă, reprezentare care s-a bazat pe o separare a spațiului în regiuni delimitate de un con luminos. Fiecare obiect geometric din aceste spații avea o reprezentare în fizică, iar rotațiile vectorilor temporali în această geometrie erau chiar transformările Lorentz care explicau cum spațiul și timpul se transformă când trecem de la un sistem referențial inerțial la altul.
Având aceste lucruri clare în minte, Hilbert îl invită pe Einstein la Göttingen. Einstein își prezintă teoria așa cum era la acel moment. Incompletă. Fără ecuațiile câmpului gravitațional. Discuțiile continuă zile întregi, încă nu se întrezărea forma corectă a ecuațiilor. La un moment dat Hilbert îl invită pe Einstein acasă la el. Când ajunge acolo, Einstein a văzut scrise pe tabla din camera unde era biroul lui Hilbert mai multe formule de geometrie diferențială. La fel, alte formule erau scrise pe niște foi răspândite aparent neglijent pe birou; erau și formule scrise cu cretă pe sticla geamurilor verandei mari care continua biroul lui Hilbert. Einstein abia are puterea să mai spună:
-Dar asta este teoria mea…
-Da, a spus Hilbert, dar acum fizica a devenit prea grea ca să o mai lăsăm doar fizicienilor.
Hilbert nu a spus această frază cu răutate. El era cel care își dădea seama că limbajul fizicii, matematica, devenise prea complicat pentru fizicieni. Geometria diferențială se studia doar în facultățile de matematică și uitându-ne la dezvoltarea teoriei relativității înțelegem că Hilbert a avut dreptate. Fizicienii nu au înțeles relativitatea generalizată, nu au acceptat-o, nu l-au premiat pe Einstein pentru aceasta teorie și mult timp matematicienii au fost cei care au dezvoltat teoria obținând numeroase soluții ale ecuațiilor de câmp. Cei trei fizicieni care au înțeles teoria atunci când Einstein a publicat articolul cu ecuațiile de câmp, Georges Lemaître, Alexander Friedmann și Arthur Eddington, aveau serioase studii de matematică la bază. Despre Eddington care a confirmat previziunea relativității că razele de lumină se curbează în câmp gravitațional am mai vorbit. Despre preotul, astronomul, matematicianul și fizicianul Georges Lemaître putem să povestim că într-una dintre conversațiile sale cu Einstein i-a spus:
-Puteți să vă imaginați că pentru acest univers a existat o zi în care nu poți să spui ieri? Era modul în care Lemaître îi explica lui Einstein că universul are un început. Și asta pentru că reușise să obțină o soluție a ecuațiilor de câmp care evidenția acest aspect.
Și Alexander Friedmann i-a prezentat o aceeași viziune lui Einstein despre un univers în expansiune, un univers care a avut un început. Și el era matematician, unul care a trăit extrem de puțin pentru că s-a îmbolnăvit de febră tifoidă de la o pară nespălată pe care a mâncat-o pe peronul unei gări din Crimea. Avea 37 de ani și se întorcea la Sankt Petersburg din luna de miere.
Poate aceasta frază legată de matematica devenită prea grea pentru fizicieni a fost motivul pentru care Hilbert nu a primit premiul Nobel pentru contribuțiile sale în fizică. Și când spunem fizică trebuie să ne gândim și la mecanica cuantică. Hilbert a inventat „terenul de fotbal al particulelor elementare”. Este vorba despre spațiile Hilbert, cele folosite de John von Neumann în descrierea axiomatică a mecanicii cuantice. Funcția de stare este un element al acestor spații abstracte numite astăzi spații Hilbert. Hilbert a fost cel care l-a sfătuit pe John von Neumann să scrie cartea care să pună ordine în mecanica cuantică. Pentru că din nou, formalismul mecanicii cuantice, ca și cel al relativității, depășea puterea de înțelegere a fizicianului de atunci. Dacă pentru relativitate era nevoie de geometrie diferențială, pentru cuantică era nevoie de analiză funcțională.
Din diverse publicații pe care le-am citit, din interviuri văzute la diverse televiziuni sau pe net, din lecții văzute pe youtube am observat că mulți fizicieni nu sunt bucuroși de multa și complicata matematică necesară fizicii.
Personal cred că un matematician se bucură mai mult decât un fizician când recunoaște fizica în structuri matematice.
Pentru că dintr-o dată matematica abstractă devine o imagine, o reprezentare a Naturii. Dar adevărații fizicieni știu că fără matematică fizica poate fi cel mult o poveste frumoasă.
Există o povestioară legată de seminarul științific pe care din 1900 până în 1943 Hilbert l-a condus, seminar în care a vorbit și Einstein. În perioada 1913-1914 Norbert Wiener, viitorul părinte al ciberneticii, a venit la Göttingen să lucreze cu Hilbert. Avea 18 ani și abia își terminase doctoratul la Harvard. Wiener avea un stil dezordonat în a-și prezenta ideile, vorbea repede și considera că toată lumea prezentă la expunerea sa trebuie să cunoască deja ceea ce imaginase el. La un moment dat, extrem de ferm Hilbert îl oprește spunându-i:
-Domnule Wiener, vă rog să vorbiți mai rar. Deși sunteți la Göttingen, și noi avem nevoie de timp pentru a înțelege!
Această intervenție a fost în același timp o mustrare blândă și un compliment indirect, subliniind complexitatea gândirii lui Wiener, dar și necesitatea unei comunicări clare chiar și în fața unor minți strălucite. Seminarul matematic era cunoscut pentru standardele științifice ridicate pe care Hilbert le impunea participanților. Era doar seminarul în care se născuseră spațiile Hilbert, geometria relativității restrânse și generalizate, teoremele lui Noether despre cantitățile invariate și legile fizicii aferente.
Există și un sfârșit. Hilbert a fost în ultimul deceniu de viață bolnav. O anemie pernicioasă îl lasă fără energie astfel încât odihna prelungită ia locul vieții sale extrem de active. Lipsa de vitamina B12, pentru că atunci nu se știa că aceasta este cauza bolii, a contribuit inclusiv la declinul cognitiv, limitându-i astfel viața academică. Chiar merită să reflectăm cât ar mai fi putut să creeze sau să influențeze pe alții dacă nu ar fi fost așa de bolnav.
Faptul că în 1933 universitatea din Göttingen este părăsită de mai toți profesorii evrei pe fondul creșterii amenințărilor naziste îi accentuează depresia provocată de boală. Are însă puterea și curajul de a răspunde la întrebarea unui ministru nazist care vizitează universitatea extrem de tăios, arătându-și încă o dată susținerea față de colegii evrei, susținere pe care a acordat-o necondiționat întotdeauna. Iată dialogul:
-Cum mai merge matematica la Göttingen, acum că am scăpat de influența evreiască?
-Matematica la Göttingen? Nu mai există matematică la Göttingen!
A murit în 1943 datorită bolii și a fost înmormântat în faimosul cimitir Albani, unde sunt înmormântate alte personalități ale științei și culturii precum Carl Frederick Gauss și Max Born. Pe crucea sa scrie „Wir müssen wiessen. Wir werden wiessen.” Adică „Trebuie să știm. Vom ști!”
Aceste cuvinte care exprimă crezul său au fost rostite în 1930 la Congresul de Matematică de la Königsberg și se opun pesimismului științific al lui Emil de Bois Raymond exprimat prin afirmația „Ignoramus et Ignorabimus” (Nu știm și nu vom ști niciodată).
Și acum, să legăm toate aceste episoade între ele.
Vă povesteam în episodul trecut cum descendența științifică arată linii de evoluție ale unor idei care conduc către relativitate, deci către înțelegerea universului mare. Numele lui Hilbert lipsea de acolo. Matematicianul Johann Friedrich Pfaff este tatăl spiritual pentru trei linii de descendență ideatică care au legătură cu geometriile neeuclidiene, geometria diferențială și relativitatea. Prima este: de la Pfaff la Johann Bartels, continuând cu Nikolai Lobacevski și apoi Alexander Friedmann. Cealaltă de la Bartels la Carl Friederich Gauss continuând în succesiune pe trei direcții, Bernhard Riemann, Christian Gerling și Farkas Bolyai. Ultima direcție se închide cu fiul, Janos Bolyai descoperitor al geometriei absolute și al geometriilor neeuclidiene așa cum era și Lobacevski în cealaltă linie de descendenți. Pe Gauss și Riemann în acest caz o să-i legăm de geometria diferențială, iar despre Friedmann am vorbit mai înainte. Linia Gerling continuă ajungând la geometrul Felix Klein iar apoi la Ferdinand Lindemann, cel care a demonstrat că numărul pi este transcendent. Lindemann i-a avut ca doctoranzi pe Herman Minkowski și David Hilbert. Oamenii aceștia și-au intersectat ideile, s-au completat, au fost în legătură și cu cei din celelalte linii adăugând cunoaștere edificiului științei.
Dar David Hilbert a avut ceva în plus, a fost cel care a marcat probabil cele mai importante contribuții în matematica sfârșitului de secol XIX și început de secol XX. Eleganță intelectuală, distincție și geniu. Chiar și liberalism și generozitate dacă ținem cont că o parte din salariul său îi era acordat Emmei Noether care conform cutumelor vremii, fiind femeie, nu putea să fie angajată ca profesor la Göttingen. David Hilbert a fost un om care a marcat o epocă, un om al cărui fiu a fost toată viața afectat de un handicap grav. Dar care a înțeles că aici, în scurta noastră intersecție cu timpul acestui univers, avem o obligație față de noi și față de ceilalți. Trebuie să știm. Vom ști!
